Deformazione da torsione e flessione
Nel caso generale di una colonna con sezione trasversale aperta in parete sottile, il collasso per deformazione di solito si verifica a causa di una combinazione di torsione e flessione. Per indagare su questo tipo di deformazione, consideriamo una sezione non simmetrica, mostrata in fig.

Gli assi x ed y sono gli assi principali della sezione trasversale e x0, y0 sono le coordinate del centro 0. Durante la deformazione, la sezione trasversale subirà una traslazione e una rotazione. La traslazione è definita dalle deformazioni u e v rispettivamente nelle direzioni x e y, del piano di centro 0. Così, durante la traslazione della sezione, il centro 0 si sposta in 0' e il punto C in C'. La rotazione della sezione trasversale intorno all’asse centrale è denotata dall'angolo f, e la posizione finale del baricentro è C''.
Perciò gli spostamenti del punto C durante la deformazione sono:


Se l'unica azione di carico sulla colonna è una spinta centrale P, i momenti flettenti rispetto all’assi principali della sezione sono:


I segni convenzionali per i momenti Mx e My sono mostrati in fig. 2.2, dove sono mostrati i momenti positivi relativi ad un elemento df della barra.


Le equazioni differenziali della curva deformata dell'asse del piano centrale diventano:


Queste due equazioni di curvatura della trave contengono u, v e f come quantità ignote. Una terza equazione è trovata considerando la torsione della barra. Per ottenere l'equazione per l'angolo di torsione f, noi possiamo prendere una striscia longitudinale di sezione trasversale t ds definita da coordinate x, y nel piano della sezione. Le componenti della sua deformazione nelle direzioni x e y durante la deformazione sono, rispettivamente,

Prendendo le derivate seconde di queste espressioni rispetto a z e considerando un elemento di lunghezza dz, noi troviamo che le forze di compressione st ds agendo sulle sezioni finali leggermente ruotate dell'elemento, danno forze in direzione x e y di intensità:


Prendendo il momento sull'asse centrale del piano delle forze, noi otteniamo per una striscia longitudinale la coppia agente su una unità di lunghezza della barra:


Integrando sulla intera seziona A e osservando che:


possiamo ottenere:


In queste espressioni, Jx ed Jy sono i momenti baricentrici principali di inerzia della sezione trasversale e J0 è il momento polare di inerzia rispetto al centro 0. Sostituendo l’espressione nell’equazione per torsione non uniforme,


noi troviamo:

Le equazioni precedenti sono le tre equazioni differenziali simultanee per deformazione da flessione e torsione e possono essere usate per determinare i carichi critici. Si vede che l'angolo di rotazione appare in tutte le tre equazioni, così che, nel caso generale, la deformazione torsionale e la flessione dell'asse accadono simultaneamente. Nel particolare caso quando l’origine del sistema coincide col centro di massa, noi abbiamo x0 = y0 =0 e le suddette equazioni diventano:


Ognuna di queste equazioni contiene solamente una incognita e può essere trattata separatamente, così che la deformazione torsionale risulti indipendente da quella a flessione. Le prime due equazioni danno i valori dei carichi critici Euleriani per deformazione nei due piani principali. La terza equazione ci fornisce il valore del carico critico per la deformazione puramente torsionale.. Solamente il più basso dei tre valori del carico critico è di interesse in casi pratici. Ora ritornando al caso generale, ci permette di presumere che la barra ha semplici appoggi, così che le sezioni finali sono libere di incurvarsi e ruotare intorno agli assi x e y ma non possono ruotare intorno all’asse z o spostarsi nelle direzioni x e y.